![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
navi03Один пытливый читатель выразил опасение, что если дальше речь пойдёт об иррациональных числах, он ничего не поймёт.
Поэтому я думаю, что пришла пора успокоить этого читателя и всех остальных и поговорить об этих числах.
Они не менее важны и не менее красивы, чем привычные нам рациональные, просто пока они трудно постижимы для нас из-за нашего неумения их видеть.
Их не нужно бояться, хотя я понимаю, что всё малоизвестное или плохо определяемое вызывает опасение. И, действительно, иррациональные числа очень неудобно определяются в нашей существующей системе счисления.
Дело в том, что мы живём уже многие века в мире рациональных чисел. Этими числами мы измеряем количество яблок (натуральные числа), куски торта, которые остались после праздника (дроби), количество лет до нашей эры (отрицательные целые числа), температуру ниже нуля (отрицательные целые либо дробные числа). Все эти числа являются рациональными.
В нашей рациональной системе счисления все рациональные числа задаются как абсолютные величины.
Например: 1; 0,765; 1/245; -40,654 и т.д. То есть в этой системе счисления они выражаются ТОЧНО (абсолютно).
А вот иррациональные числа в этой системе счисления не имеют абсолютных значений. Каждое иррациональное число может быть представлено в этой системе счисления только через два рациональных числа. Или же иррациональное число представляется в виде одного числа, но неточно.
Например: число Пи может быть представлено как отношение пары рациональных чисел, нечто поделенное на нечто. Либо, если оно выражается одним числом, то это число, состоящее из целой части (3) и дробной, которая не имеет конца. То есть абсолютно точно представить число Пи в системе рациональных чисел невозможно. Только относительно. Именно поэтому иррациональные числа называются несчислимыми.
Вы спросите: Где же они находятся эти самые, которые иррациональные? И сколько их вообще? Может их пара штук всего? Ну число Пи, ну ещё квадратный корень из двух, ну ещё из трёх и из пяти… Стоит ли о них говорить и с ними считаться?
Давайте разберёмся.
Представим себе для наглядности систему координат в одномерном пространстве – прямую. Выберем на прямой точку отсчёта Ноль и масштаб – условную единицу. Теперь, имея точку отсчёта и масштаб, мы можем задать на этой прямой абсолютно точно местоположение любого рационального числа: 2; 3; 5 000 000; -0,75 и т. д.
Теперь представим себе, что согласно предположению некоторых математиков, между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число. Что это значит? Это, грубо говоря, значит, что возле каждого целого или дробного числа слева и справа на числовой прямой может стоять такое вот таинственное несчислимое иррациональное число. Получатся, что иррациональных чисел, возможно, не меньше, чем рациональных. Есть ещё математики, которые считают, что иррациональные числа составляют основную массу среди множества всех чисел, то есть они лежат на числовой прямой плотнее, чем рациональные.
Значит, таких вот «странных» чисел, типа числа Пи, типа квадратного корня из двух, не меньше, чем таких чисел, которыми мы считаем яблоки, куски торта и температуру ниже нуля, а может, даже и больше (я лично склоняюсь ко второму).
Не значит ли это, что эти числа встречаются в реальной действительности гораздо чаще, чем это принято вообще считать?
Да. Почему же мы их не видим? Потому что мы их округляем. Потому что мы их обходим, мы стараемся их избегать. Кроме тех случаев, когда избежать их просто невозможно.
Мы округляем все иррациональные числа потому, что они не могут быть заданы в нашей системе счисления точно, и именно по этой причине мы не можем легко производить над ними никаких действий, как мы это делаем с числами рациональными, мы не можем их легко складывать, вычитать, умножать и возводить в степень (за исключением единичных случаев).
******
Если представить себе все обертоны к некоему основному звуку, частотой 100 герц, на прямой, то вторым обертоном будет частота 200 герц (условно), а третьим обертоном – частота, которая относится к частотам основного звука и первого обертона, как золотая пропорция. Та самая золотая пропорция, о которой было одно из отступлений.
Итак: первый обертон – это звук, который отстаёт от основного на октаву. Второй обертон – это квинта от первого обертона. И вот получается, что, уже начиная со второго обертона, с той самой квинты (на которой строится строй Пифагора - об этом позже), мы входим в область иррациональных чисел. То есть звук, отстоящий от первого обертона на квинту, будет иметь частоту, которая будет выражена иррациональным числом.
Я не могу себе сейчас представить, как должна быть задана эта функция – функция, определяющая звуки натурального звукоряда, функция, в которой между тремя соседними членами соблюдается золотая пропорция. Примерно число Ф (золотую пропорцию) можно представить как отношение последовательных чисел Фибоначчи.
Если предположить, что в случае в геометрической прогрессией мы имеем дело с возведением в квадрат (об этом я подробно расскажу в разделе про Хорошо-Темперированный клавир Баха), то тут дело ещё сложнее. Я ещё продолжаю думать над этим вопросом.
Но даже если предположить, что функция простая (например, однородная линейная) и для вычисления частоты следующего обертона нам НЕ нужно возводить иррациональное число в иррациональную степень, а просто умножить иррациональное число на два, то даже после такого простого действия в результате мы получим иррациональное число. Поскольку удвоенное иррациональное число есть тоже число иррациональное. Чтобы иррациональное число стало рациональным нужно произвести очень особенное действие. Вряд ли в нашем ряду чисел хотя бы одно будет снова рациональным.
Теперь вы представляете, как много вокруг иррациональных чисел?
Теперь попробуйте угадать, какими числами будут выражены частоты всех обертонов, начиная со второго, если уже второй обертон выражен числом иррациональным? Правильно – скорее всего иррациональными числами. Поскольку там будет снова действовать золотая пропорция. И все эти полученные величины (частоты обертонов) могут быть представлены в нашей системе счисления ТОЛЬКО приблизительно, в виде округлённых рациональных чисел.
Если вы погугглите, вы найдёте множество вариантов таблиц частот обертонов от некоего звука. Обратите внимание, что в некоторых таблицах частоты представлены даже в виде ЦЕЛЫХ чисел! Это не просто грубое округление, это невозможно грубое округление.
Невозможность точно выразить частоту натуральных обертонов какого бы то ни было исходного звука - это одна из причин, почему никогда не удастся на основе натурального звукоряда создать темперированный строй, то есть такой строй, в котором один и тот же звукоряд можно будет чисто играть от любого звука.
Это одна причина, но есть и другая. Может быть, я до неё ещё дойду. Пока оставлю.
-------------------------
Мы не можем ничего делать с иррациональными числами, в частности, мы не можем их делить на равные части, что требовалось бы делать, чтобы равномерно темперировать натуральный строй. Чтобы производить точные расчёты со всеми иррациональными числами, нужно уметь определять иррациональные числа абсолютно точно.
Для этого нужна другая, отдельная система счисления для иррациональных чисел, в которой это будет возможно. То есть нужна такая система счисления, относительно которой каждое иррациональное число будет иметь абсолютное значение, будет относительно абсолютным. (Помните, я говорила про относительно абсолютное? Это как раз такой случай).
В такой системе любое иррациональное число можно будет выражать через другие иррациональные числа. Тогда мы сможем эти самые иррациональные числа складывать, умножать и возводить в степень. Как мы это делаем в теперешней системе с рациональными – мы выражаем одни рациональные числа через другие.
Вторым этапом, как мне кажется, будет создание полной естественной системы счисления, которая будет настолько универсальной, что в ней можно будет одинаково легко производить действия над всеми числами, как рациональными, так и иррациональными, раз уж иррациональных у нас не меньшее количество. И раз уж они так близко соседствуют друг с другом.
В этой универсальной системе счисления можно будет не только выражать рациональные числа через рациональные (как это уже возможно сейчас), и не только выражать иррациональные через иррациональные (как это можно будет вскоре), но и выражать любое РАЦИОНАЛЬНОЕ число через иррациональные числа, что сегодня кажется совершеннейшим чудом, но мы к этому точно придём, не потому что это истина, а потому что это логично. :-)
И когда такая система появится, легко можно будет доказывать многие трудно доказуемые сейчас вещи. Я думаю, что в частности теорему Ферма можно будет тоже доказывать красиво и элегантно. Доказательство будет простым и коротким, не длиннее доказательства теоремы Пифагора, и будет очевидным для каждого школьника.
А что сделал Пифагор, и как он, пытаясь расширить звукоряд для транспонирования, не сумел обойти область иррациональных чисел, хоть всячески старался, об этом я уже пишу.
Поэтому я думаю, что пришла пора успокоить этого читателя и всех остальных и поговорить об этих числах.
Они не менее важны и не менее красивы, чем привычные нам рациональные, просто пока они трудно постижимы для нас из-за нашего неумения их видеть.
Их не нужно бояться, хотя я понимаю, что всё малоизвестное или плохо определяемое вызывает опасение. И, действительно, иррациональные числа очень неудобно определяются в нашей существующей системе счисления.
Дело в том, что мы живём уже многие века в мире рациональных чисел. Этими числами мы измеряем количество яблок (натуральные числа), куски торта, которые остались после праздника (дроби), количество лет до нашей эры (отрицательные целые числа), температуру ниже нуля (отрицательные целые либо дробные числа). Все эти числа являются рациональными.
В нашей рациональной системе счисления все рациональные числа задаются как абсолютные величины.
Например: 1; 0,765; 1/245; -40,654 и т.д. То есть в этой системе счисления они выражаются ТОЧНО (абсолютно).
А вот иррациональные числа в этой системе счисления не имеют абсолютных значений. Каждое иррациональное число может быть представлено в этой системе счисления только через два рациональных числа. Или же иррациональное число представляется в виде одного числа, но неточно.
Например: число Пи может быть представлено как отношение пары рациональных чисел, нечто поделенное на нечто. Либо, если оно выражается одним числом, то это число, состоящее из целой части (3) и дробной, которая не имеет конца. То есть абсолютно точно представить число Пи в системе рациональных чисел невозможно. Только относительно. Именно поэтому иррациональные числа называются несчислимыми.
Вы спросите: Где же они находятся эти самые, которые иррациональные? И сколько их вообще? Может их пара штук всего? Ну число Пи, ну ещё квадратный корень из двух, ну ещё из трёх и из пяти… Стоит ли о них говорить и с ними считаться?
Давайте разберёмся.
Представим себе для наглядности систему координат в одномерном пространстве – прямую. Выберем на прямой точку отсчёта Ноль и масштаб – условную единицу. Теперь, имея точку отсчёта и масштаб, мы можем задать на этой прямой абсолютно точно местоположение любого рационального числа: 2; 3; 5 000 000; -0,75 и т. д.
Теперь представим себе, что согласно предположению некоторых математиков, между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число. Что это значит? Это, грубо говоря, значит, что возле каждого целого или дробного числа слева и справа на числовой прямой может стоять такое вот таинственное несчислимое иррациональное число. Получатся, что иррациональных чисел, возможно, не меньше, чем рациональных. Есть ещё математики, которые считают, что иррациональные числа составляют основную массу среди множества всех чисел, то есть они лежат на числовой прямой плотнее, чем рациональные.
Значит, таких вот «странных» чисел, типа числа Пи, типа квадратного корня из двух, не меньше, чем таких чисел, которыми мы считаем яблоки, куски торта и температуру ниже нуля, а может, даже и больше (я лично склоняюсь ко второму).
Не значит ли это, что эти числа встречаются в реальной действительности гораздо чаще, чем это принято вообще считать?
Да. Почему же мы их не видим? Потому что мы их округляем. Потому что мы их обходим, мы стараемся их избегать. Кроме тех случаев, когда избежать их просто невозможно.
Мы округляем все иррациональные числа потому, что они не могут быть заданы в нашей системе счисления точно, и именно по этой причине мы не можем легко производить над ними никаких действий, как мы это делаем с числами рациональными, мы не можем их легко складывать, вычитать, умножать и возводить в степень (за исключением единичных случаев).
******
Если представить себе все обертоны к некоему основному звуку, частотой 100 герц, на прямой, то вторым обертоном будет частота 200 герц (условно), а третьим обертоном – частота, которая относится к частотам основного звука и первого обертона, как золотая пропорция. Та самая золотая пропорция, о которой было одно из отступлений.
Итак: первый обертон – это звук, который отстаёт от основного на октаву. Второй обертон – это квинта от первого обертона. И вот получается, что, уже начиная со второго обертона, с той самой квинты (на которой строится строй Пифагора - об этом позже), мы входим в область иррациональных чисел. То есть звук, отстоящий от первого обертона на квинту, будет иметь частоту, которая будет выражена иррациональным числом.
Я не могу себе сейчас представить, как должна быть задана эта функция – функция, определяющая звуки натурального звукоряда, функция, в которой между тремя соседними членами соблюдается золотая пропорция. Примерно число Ф (золотую пропорцию) можно представить как отношение последовательных чисел Фибоначчи.
Если предположить, что в случае в геометрической прогрессией мы имеем дело с возведением в квадрат (об этом я подробно расскажу в разделе про Хорошо-Темперированный клавир Баха), то тут дело ещё сложнее. Я ещё продолжаю думать над этим вопросом.
Но даже если предположить, что функция простая (например, однородная линейная) и для вычисления частоты следующего обертона нам НЕ нужно возводить иррациональное число в иррациональную степень, а просто умножить иррациональное число на два, то даже после такого простого действия в результате мы получим иррациональное число. Поскольку удвоенное иррациональное число есть тоже число иррациональное. Чтобы иррациональное число стало рациональным нужно произвести очень особенное действие. Вряд ли в нашем ряду чисел хотя бы одно будет снова рациональным.
Теперь вы представляете, как много вокруг иррациональных чисел?
Теперь попробуйте угадать, какими числами будут выражены частоты всех обертонов, начиная со второго, если уже второй обертон выражен числом иррациональным? Правильно – скорее всего иррациональными числами. Поскольку там будет снова действовать золотая пропорция. И все эти полученные величины (частоты обертонов) могут быть представлены в нашей системе счисления ТОЛЬКО приблизительно, в виде округлённых рациональных чисел.
Если вы погугглите, вы найдёте множество вариантов таблиц частот обертонов от некоего звука. Обратите внимание, что в некоторых таблицах частоты представлены даже в виде ЦЕЛЫХ чисел! Это не просто грубое округление, это невозможно грубое округление.
Невозможность точно выразить частоту натуральных обертонов какого бы то ни было исходного звука - это одна из причин, почему никогда не удастся на основе натурального звукоряда создать темперированный строй, то есть такой строй, в котором один и тот же звукоряд можно будет чисто играть от любого звука.
Это одна причина, но есть и другая. Может быть, я до неё ещё дойду. Пока оставлю.
-------------------------
Мы не можем ничего делать с иррациональными числами, в частности, мы не можем их делить на равные части, что требовалось бы делать, чтобы равномерно темперировать натуральный строй. Чтобы производить точные расчёты со всеми иррациональными числами, нужно уметь определять иррациональные числа абсолютно точно.
Для этого нужна другая, отдельная система счисления для иррациональных чисел, в которой это будет возможно. То есть нужна такая система счисления, относительно которой каждое иррациональное число будет иметь абсолютное значение, будет относительно абсолютным. (Помните, я говорила про относительно абсолютное? Это как раз такой случай).
В такой системе любое иррациональное число можно будет выражать через другие иррациональные числа. Тогда мы сможем эти самые иррациональные числа складывать, умножать и возводить в степень. Как мы это делаем в теперешней системе с рациональными – мы выражаем одни рациональные числа через другие.
Вторым этапом, как мне кажется, будет создание полной естественной системы счисления, которая будет настолько универсальной, что в ней можно будет одинаково легко производить действия над всеми числами, как рациональными, так и иррациональными, раз уж иррациональных у нас не меньшее количество. И раз уж они так близко соседствуют друг с другом.
В этой универсальной системе счисления можно будет не только выражать рациональные числа через рациональные (как это уже возможно сейчас), и не только выражать иррациональные через иррациональные (как это можно будет вскоре), но и выражать любое РАЦИОНАЛЬНОЕ число через иррациональные числа, что сегодня кажется совершеннейшим чудом, но мы к этому точно придём, не потому что это истина, а потому что это логично. :-)
И когда такая система появится, легко можно будет доказывать многие трудно доказуемые сейчас вещи. Я думаю, что в частности теорему Ферма можно будет тоже доказывать красиво и элегантно. Доказательство будет простым и коротким, не длиннее доказательства теоремы Пифагора, и будет очевидным для каждого школьника.
А что сделал Пифагор, и как он, пытаясь расширить звукоряд для транспонирования, не сумел обойти область иррациональных чисел, хоть всячески старался, об этом я уже пишу.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2013-03-09 06:46 am (UTC)заранее спасибо. Я начала учиться петь в несколько зрелом возрасте :) и мне очень интересно, как там это все устроено, в музыке. Зачем и почему именно так.
no subject
Date: 2013-03-09 06:53 am (UTC)no subject
Date: 2013-03-09 09:06 am (UTC)